Question

求证：（cos²x-sin²x）（cos⁴x+sin⁴x）+

1

4

sin2xsin4x=cos2x．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：把要证的等式的右边利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差余弦公式化简，可得等式的右边，从而证得等式成立．

解答： 证明：∵（cos²x-sin²x）（cos⁴x+sin⁴x）+

1

4

sin2xsin4x=cos2x （1-2sin²x cos²x）+

1

4

sin2xsin4x
=cos2x （1-

1

2

sin²2x ）+

1

4

sin2xsin4x=cos2x（1-

1

2

•

1-cos4x

2

）+

1

4

sin2xsin4x
=cos2x-

cos2x-cos2xcos4x

4

+

1

4

sin2xsin4x=

3

4

cos2x+

cos2xcos4x+sin2xsin4x

4

=

3

4

cos2x+

cos(4x-2x)

4

=cos2x=右边，
故要证的等式成立．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．