Question

已知圆x²+y²=4内一点A（1，1），P，Q为圆上的动点，若PA⊥QA，求PQ中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,作图题,坐标系和参数方程

分析：作出图象辅助，由题意设P（2cosa，2sina），Q（2cosθ，2sinθ），则M=（x，y）=（cosa+cosθ，sina+sinθ），由PA⊥QA可得

AP

•

AQ

=0，化简可得轨迹方程．

解答： 解：如右图，
设P（2cosa，2sina），Q（2cosθ，2sinθ），
则M=（x，y）=（cosa+cosθ，sina+sinθ），
∵PA⊥QA，
∴

AP

•

AQ

=0，
∴（2cosa-1，2sina-1）•（2cosθ-1，2sinθ-1）=0，
∴（2cosa-1）（2cosθ-1）+（2sina-1）（2sinθ-1）=0，
∴4cosacosθ）-2（cosa+cosθ）+1+4sinasinθ-2（sina+sinθ）+1=0①，
又∵（cosa+cosθ）²+（sina+sinθ）²=2+2（cosacosθ+sinasinθ），
∴4（cosacosθ+sinasinθ）=2[（cosa+cosθ）²+（sina+sinθ）²-2]，
则①式可化为
2[（cosa+cosθ）²+（sina+sinθ）²-2]-2（cosa+cosθ）+1-2（sina+sinθ）+1=0，
即2（x²+y²-2）-2x+1-2y+1=0，
即x²+y²-x-y-1=0．

点评：本题考查了参数方程及轨迹方程的求法，属于中档题．