Question

若函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，且y=f（x+1）是奇函数，则下列结论中    
①f（1-x）+f（x+1）=0
②f′（x）（x-1）≥0
③f（x）（x-1）≥0
正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：①根据y=f（x+1）是奇函数，运用奇函数的定义即可判断；
②根据图象分析x＞1，x＜1的图象变化情况，结合导数的符号确定；
③根据图象分析x＞1，x＜1的图象分布来确定函数值的符号，从而判断正确性．

解答： 解：①∵y=f（x+1）是奇函数，
∴由定义得：f（-x+1）=-f（x+1），
即f（1-x）+f（x+1）=0，
故①正确；
②由函数f（x）的图象得：
x＞1时，图象有上升，有下降，导数f'（x）先正后负；
x＜1时，图象有上升，有下降，导数f'（x）先负后正．
故②错误；
③观察函数f（x）的图象得：
x＞1时，图象在x轴上方，f（x）＞0；
x＜1时，图象在x轴下方，f（x）＜0；
故③正确；
故答案为：①③．

点评：本题考查运用导数研究函数的单调性，以及函数的奇偶性的定义，考查通过图象分析函数的变化情况，注意函数值与导数值的区别．