Question

11．已知抛物线C：y²=4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C于点P₁、P₂和点P₃、P₄，线段P₁P₂、P₃P₄的中点分别为M₁、M₂．
（Ⅰ）求线段P₁P₂的中点M₁的轨迹方程；
（Ⅱ）求△FM₁M₂面积的最小值；
（Ⅲ）过M₁、M₂的直线l是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定线段M₁M₂的中点P坐标，消去参数，即可得到线段P₁P₂的中点M₁的轨迹方程；
（Ⅱ）利用${S_{△F{M_1}{M_2}}}=\frac{1}{2}|F{M_1}|•|F{M_2}|=2（\frac{1}{|k|}+|k|）≥4$，即可求△FM₁M₂面积的最小值；
（Ⅲ）分类讨论，利用yk²+（x-3）k-y=0，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为F（1，0），
设直线P₁P₂的方程为y=k（x-1），k≠0．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得k²x²-2（2+k²）x+k²=0．△=[-2（2+k²）]²-4k²k²=16（1+k²）＞0．
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则${x_{M_1}}=\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）=1+\frac{2}{k^2}$，${y_{M_1}}=k（{x_{M_1}}-1）=\frac{2}{k}$，
∴${x_{M_1}}=1+\frac{1}{2}{y^2}_{M_1}$．
∴线段P₁P₂的中点M₁的轨迹方程为：y²=2（x-1）（x＞1）．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$\left\{\begin{array}{l}{x_{M_1}}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{2+{k^2}}}{k^2}\\{y_{M_1}}=k（{x_{M_1}}-1）=\frac{2}{k}\end{array}\right.$．
同理，设${M_2}（{x_{M_2}}，{y_{M_2}}）$，则$\left\{\begin{array}{l}{x_{M2}}=2{k^2}+1\\{y_{M2}}=-2k\end{array}\right.$．
∴$|F{M_1}|=\sqrt{{{（1-\frac{{2+{k^2}}}{k^2}）}^2}+{{（\frac{2}{k}）}^2}}=\frac{2}{k^2}\sqrt{1+{k^2}}$，$|F{M_2}|=\sqrt{{{（2{k^2}）}^2}+{{（-2k）}^2}}=2|k|\sqrt{1+{k^2}}$，
因此${S_{△F{M_1}{M_2}}}=\frac{1}{2}|F{M_1}|•|F{M_2}|=2（\frac{1}{|k|}+|k|）≥4$．
当且仅当$\frac{1}{|k|}=|k|$，即k=±1时，${S_{△F{M_1}{M_2}}}$取到最小值4．…（8分）
（Ⅲ）当k≠±1时，由（Ⅱ）知直线l的斜率为：$k'=\frac{k}{{1-{k^2}}}$，
所以直线l的方程为：$y+2k=\frac{k}{{1-{k^2}}}（x-2{k^2}-1）$，即yk²+（x-3）k-y=0，（*）
当x=3，y=0时方程（*）对任意的k（k≠±1）均成立，即直线l过点（3，0）．
当k=±1时，直线l的方程为：x=3，也过点（3，0）．
所以直线l恒过定点（3，0）．…（12分）

点评 本题给出抛物线互相垂直的弦，求它们的中点的问题．着重考查了直线与抛物线位置关系、直线过定点的判断等知识，属于中档题．