Question

平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．
（1）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？
（2）过每两点连线，可得几条直线？
（3）以每三点为顶点作三角形可作几个？

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：（1）向量具有方向和大小的，分三类，一类两点全在直线上，一类在一直线上4点任取一点，直线外再取一点，另一类在一直线上4点不取，直线外取两点即可，根据分类计数原理可得．
（2）分三类，一类两点全在直线上，一类在一直线上4点任取一点，直线外再取一点，另一类在一直线上4点不取，直线外取两点即可根据分类计数原理可得．
（3）分三类，第一类，在同一条直线上4个点选一个，再另外的5个点选2个，第二类，在同一条直线上4个点选2个，再另外的5个点选1个，第二类，在另外的5个点选3个，根据分类计数原理可得

解答： 解：（1）第一类，起点和终点分别属于同一直线的4个点中的2个点，有

A

2 4

=12种，
第二类，起点和终点分别属于同一直线的4个点的一个点，另一个点在直线的5个点中的一个，2×4×5=40种，
第三类，起点和终点分别属于直线的5个点中的两个，

A

2 5

=20种，
根据分类计数原理得，12+40+20=72个向量
（2）解：第一类，在一直线上4点任取两点构成同一直线，1条，
第二类，在一直线上4点任取一点，直线外再取一点可构成4×5=20条
第三类，在一直线上4点不取，直线外取两点可构成

C

2 5

=10条，
根据分类计数原理得，故一共1+20+10=31条，
（3）分两类，第一类，在同一条直线上4个点选一个，再另外的5个点选2个，有

C

1 4

•

C

2 5

=40个，
第二类，在同一条直线上4个点选2个，再另外的5个点选1个，有

C

2 4

•

C

1 5

=30个，
第二类，在另外的5个点选3个，有

C

3 5

=10个，
根据分类计数原理得，以每三点为顶点作三角形可作40+30+10=80个．

点评：本题主要考查了分类计数原理，如何分类时关键，属于中档题．