题目内容

若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，则a的取值范围为（　　）
A、[
e2
8
，+∞)
B、(0，
e2
8
]
C、[
e2
4
，+∞）
D、(0，
e2
4
]
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围．
解答： 解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，
由y=ex，得y′=ex，
∵曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，则
设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），
则2ax1=ex2=
ex2-ax12
x2-x1
，将ex2=2ax1代入2ax1=
ex2-ax12
x2-x1
，可得2x2=x1+2，
∴a=
e
x1
2
+1
2x1
，记f(x)=
e
x
2
+1
2x
，
则f′(x)=
e
x
2
+1(x-2)
4x2
，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0．
∴当x=2时，f(x)min=
e2
4
．
∴a的范围是[
e2
4
，+∞）．
故选：C．
点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
球O的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=
π
4
，则棱锥A-SBC的体积为（　　）
A、
4
3
B、
8
3
C、
4
2
3
D、
4
3
3
已知函数f（x）=x+
a
x
有如下性质，如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)，上是增函数．写出f（x）=x+
4
x
，（x＞0）的减区间，并用定义证明．
定义式子运算为
.
a1a2
a3a4
.
=a1a4-a2a3，将函数f（x）=
.
1cosωx
3
sinωx
.
（其中ω＞0）的图象向左平移
π
3ω
个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，
π
6
]上为增函数，则ω的最大值（　　）
A、6B、4C、3D、2
若以曲线y=f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点作切线l2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”．现有下列命题：
①函数y=（x-2）2+lnx的图象具有“可平行性”；
②定义在（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数y=f（x）的图象都具有“可平行性”；
③三次函数f（x）=x3-x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2=
2
3
；
④要使得分段函数f（x）=
x+
1
x
(m＜x)
ex-1(x＜0)
的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是
 
．（写出所有真命题的序号）
给定下列命题：
①命题p：5x-x2＞0，q：|x-2|＜3，则￢p是￢q的必要不充分条件．
②“若sinα≠
1
2
，则α≠
π
6
”；
③“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；
④命题“?x0∈R，使x02-x0+1≤0”的否定．
其中真命题的个数是（　　）
A、1B、2C、3D、4
已知全集U={x|2≤x≤10，且x∈N}．集合A={3，4，6，8}，B={3，5，8，9}，那么集合{2，7，10}=（　　）
A、A∪B
B、A∩B
C、（∁UA）∩（∁UB）
D、（∁UA）∪（∁UB）
将标号为1，2，3，4，5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有
 
种放法．
多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm）
 
．

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