Question

若以曲线y=f（x）上任意一点M（x₁，y₁）为切点作切线l₁，曲线上总存在异于M的点N（x₂，y₂），以点N为切点作切线l₂，且l₁∥l₂，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”．现有下列命题：
①函数y=（x-2）²+lnx的图象具有“可平行性”；
②定义在（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数y=f（x）的图象都具有“可平行性”；
③三次函数f（x）=x³-x²+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的横坐标满足x₁+x₂=

2

3

；
④要使得分段函数f（x）=

x+ 1 x (m＜x) ex-1(x＜0)

的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,简易逻辑

分析：根据导数的几何意义，将定义转化为：“方程y′=a（a是导数值）至少有两个根”，利用：y′=-4+2

2

时，x的取值唯一判断①不符合；对于②，由可导奇函数的导数为偶函数判断；对于③，求出导数列出方程化简后判断；对于④，由两分段函数的导数的值域相等求得满足条件的m值判断．

解答： 解：由“可平行性”的定义，可得曲线y=f（x）具有“可平行性”，则方程y′=a（a是导数值）至少有两个根．
①函数y=（x-2）²+lnx，则y′=2(x-2)+

1

x

=

2x2-4x+1

x

（x＞0），方程

2x2-4x+1

x

=a，即2x²-（4+a）x+1=0，当a=-4+2

2

时有两个相等正根，不符合题意；
②定义在（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，其导函数为偶函数，当x≠0时，f′（x）=a都有互为相反数的两个根，y=f（x）的图象都具有“可平行性”正确；
③三次函数f（x）=x³-x²+ax+b，则f′（x）=3x²-2x+a，方程3x²-2x+a-m=0在（-2）²-12（a-m）≤0时不满足方程y′=a（a是导数值）至少有两个根．命题③错误；
④函数y=e^x-1（x＜0），y′=e^x∈（0，1），
函数y=x+

1

x

，y′=1-

1

x2

=

x2-1

x2

=1-

1

x2

，由1-

1

x2

∈(0，1)，得

1

x2

∈(0，1)，∴x＞1，则m=1．
故要使得分段函数f（x）=

x+ 1 x (m＜x) ex-1(x＜0)

的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1，④正确．
∴正确的命题是②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查了导数的几何意义，关键是将定义正确转化为：曲线上至少存在两个不同的点，对应的导数值相等，综合性较强，考查了转化思想．