Question

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2

2

．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为

2 6

9

，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BD⊥AC，BD⊥PA，由此能证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的余弦值．
（III）设

DQ

=λ

DP

(0＜λ＜1)，由CQ与平面PBD所成的角的正弦值为

2 6

9

，利用向量法能求出线段PD上存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为

2 6

9

，且|DQ|=

1

4

|DP|．

解答： 解：（Ⅰ）证明：在Rt△BAD中，AD=2，BD=2

2

，
∴AB=2，ABCD为正方形，
∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA．
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，
AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．…（4分）
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），
C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），
∴

BD

=(-2，2，0)，

PD

=(0，2，-2)，

CD

=(2，0，0)
设平面PCD的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • PD =2y-2z=0 m • CD =2x=0

，取y=1，得

m

=(0，1，1)，
高平面PBD的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
则

n • BD =-2x1+2y1=0 n • PD =2y1-2z1=0

，取x₁=1，得

n

=(1，1，1)…（7分）
∵cos＜

m

，

n

＞=

1+1

2 • 3

=

6

3

，
∴二面角B-PD-C的余弦值

6

3

．…（9分）
（III）解：∵Q在DP上，∴设

DQ

=λ

DP

(0＜λ＜1)，
又∵

DP

=(0，-2，2)，
∴

AQ

=

AD

+

DQ

=

AD

+λ

DP

=(0，2，0)+(0，-2λ，2λ)=(0，2-2λ，2λ)，
∴Q（0，2-2λ，2λ），∴

CQ

=(-2，-2λ，2λ)=2(-1，-λ，λ)．…（10分）
由（Ⅱ）可知平面PBD的法向量为

n

=(1，1，1)，
设CQ与平面PBD所成的角为θ，
则有：sinθ=|cos?

CQ

，

n

＞|=

| CQ • n |

| CQ || n |

=

1

3 1+2λ2

…（11分）
∵CQ与平面PBD所成的角的正弦值为

2 6

9

，
∴

1

3 1+2λ2

=

2

9

6

，解得λ2=

1

16

，∵0＜λ＜1，∴λ=

1

4

…（12分）
∴线段PD上存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为

2 6

9

，且|DQ|=

1

4

|DP|．…（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段上满足条件的点是否存在的判断和求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．