Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

A1P

=λ

A1B

．
（Ⅰ）当λ=

1

2

时，求直线PN与平面ABC所成的角θ的正弦值；
（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出

PN

=(0，

1

2

，-1)，平面ABC的一个法向量，然后利用直线与平面所成角的计算公式求解即可．
（Ⅱ）取平面ABC的一个法向量为

n

=

AA1

=(0，0，1)，求出平面PMN的一个法向量

m

，由

m • NP =0 m • MP =0

以及|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

，求出λ，然后求解点P的位置．

解答： 解：（Ⅰ）以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
则

PN

=(0，

1

2

，-1)，平面ABC的一个法向量为

n

=(0，0，1)
则sinθ=|cos＜

PN

，

n

＞|=

| PN • n |

| PN || n |

=

2 5

5

．
（Ⅱ）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的角为45°，取平面ABC的一个法向量为

n

=

AA1

=(0，0，1)，
设平面PMN的一个法向量为

m

=(x，y，z)，

MP

=(λ，-1，

1

2

)．
由

m • NP =0 m • MP =0

得

(λ- 1 2 )x- 1 2 y+z=0 λx-y+ 1 2 z=0

，令x=3，得

m

=(3，2λ+1，2(1-λ))，|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

|2(1-λ)|

9+(2λ+1)2+4(1-λ)2

=

2

2

，
解得λ=-

1

2

，故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|=

1

2

．

点评：本题考查直线与平面所成角的应用，二面角的向量求法，考查空间想象能力以及计算能力．