题目内容

某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是AB=BD=l，∠B=
π
3
的固定装置，AB上可滑动的点C使CD垂直与底面（C不A，B与重合），且CD可伸缩（当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D处沿D→C→A运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v．为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB=θ的大小．
（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t表示成θ的函数（用含有v和l的式子）；
（2）当t最小时，C点应设计在AB的什么位置？
考点：已知三角函数模型的应用问题,集合的含义,函数解析式的求解及常用方法,三角函数的最值
专题：应用题,解三角形
分析：第（1）问，时间t分成两段，从D到C设为t1，从C到A设为t2，要建立t与θ的函数关系，需要构造三角形，利用正余弦定理解决．第（2）问，根据第（1）问三角函数的形式，当θ=
π
2
时，t取最小值．
解答： 解：（1）如图，连接AD，在△ACD中，AB=BD=l，∠B=
π
3
，
∴AD=l，∠A═
π
3
，
∵货物从D处至C处运行速度为v，设运行的时间为t1，则CD=vt1，
 货物从C处至A处运行速度为3v，设运行的时间为t2，则AC=3vt2，
∴在△ACD中，由正弦定理得，
vt1
sinA
=
l
sin(π-θ)
，
3vt2
sin(θ-
π
3
)
=
l
sin(π-θ)
 
∴t1=
3
l
2vsinθ
，t2=
lsin(θ-
π
3
)
3vsinθ

∴t=t1+t2=
3
l
2vsinθ
+
lsin(θ-
π
3
)
3vsinθ

=
3
3
l+2lsin(θ-
π
3
)
6vsinθ
，（
π
3
＜θ＜
2π
3
）；
（2）由（1）知当θ=
π
2
，t最小，即C在AB的中点时，t取最小值．
点评：本题考查了三解函数及解三角形知识的综合应用，难度较大，关键是通过构造三角形利用正余弦定理构建三角函数模型．
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2
．
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2
6
9
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1
2
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k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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．

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