Question

已知△ABC的外接圆的半径为3，且cos（A-B）cosB-sin（A-B）sin（A+C）=

1

2

；
（1）求角A；
（2）求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式左边变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化简求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由正弦定理列出关系式，把R与sinA的值代入求出a的值，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入利用基本不等式求出bc的最大值，确定出三角形面积的最大值，以及此时三角形的形状．

解答： 解：（1）∵△ABC中，cos（A-B）cosB-sin（A-B）sin（A+C）=cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=cos（A-B+B）=cosA=

1

2

，
∴A=60°；
（2）由正弦定理

a

sinA

=2R得：a=2RsinA=6×

3

2

=3

3

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤27，当且仅当b=c时取等号，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×27×

3

2

=

27 3

4

，
则△ABC面积的最大值为

27 3

4

，此时△ABC为等边三角形．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．