Question

已知0°＜α＜β＜90°，且sinα、sinβ是方程x²-（

2

cos40°）x+cos²40°-

1

2

=0的两个根，求cos（2α-β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：由韦达定理可得sinα+sinβ=

2

cos40°，①sinαsinβ=cos²40°-

1

2

，②，①²-②×2由三角函数可得α+β=90°，代入②由角的范围易得α=5°，β=85°，代入化简可得．

解答： 解：∵sinα、sinβ是方程x²-（

2

cos40°）x+cos²40°-

1

2

=0的两个根，
∴sinα+sinβ=

2

cos40°，①
sinαsinβ=cos²40°-

1

2

，②
①²-②×2可得sin²α+sin²β=2cos²40°-2（cos²40°-

1

2

）=1，
∴sinβ=cosα，又0°＜α＜β＜90°，∴α+β=90°
代入②可得sinαsinβ=sinαcosα=

1

2

（2cos²40°-1）=

1

2

cos80°，
∴2sinαcosα=sin2α=cos80°=sin10°，∴α=5°，β=85°
∴cos（2α-β）=cos（-75°）=cos75°=cos（30°+45°）
=

3

2

×

2

2

-

1

2

×

2

2

=

6 - 2

4

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和诱导公式，属基础题．