Question

6．如图，椭圆的中心在坐标原点，A，B为顶点，F为焦点，当$\overrightarrow{FB}$⊥$\overrightarrow{AB}$时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 在三角形AFB中，分别求出AB，FA，FB，再由勾股定理，结合离心率公式以及范围，解方程即可求得双曲线的离心率．

解答 解：在三角形AFB中，|FB|=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，|FA|=a+c．
由FB⊥AB，则（a+c）²=（b²+a²）+b²+c²=3a²-c²，
整理得c²+ac-a²=0，即e²+2e-2=0，
解得e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
由于椭圆的0＜e＜1，
即有e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．