Question

2．已知等比数列{a_n}中a₁=3，其前n项和S_n满足S_n=p•a_n+1-$\frac{3}{2}$（p为非零实数）
（I）求p值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是公差为3的等差数列，b₁=1．现将数列{a_n}中的a_b1，a_b2，…a_bn…抽去，余下项按原有顺序组成一新数列{c_n}，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）通过等比数列的求和公式及S_n=p•a_n+1-$\frac{3}{2}$可知q=3、p=$\frac{1}{2}$，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过记d_n=${a}_{{b}_{n}}$可知d_n=3•27^n-1，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（I）依题意，等比数列{a_n}的公比q≠1，则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{n+1}}{1-q}$，
∴a₁-a_n+1=（1-q）（p•a_n+1-$\frac{3}{2}$），
整理得：a₁=-$\frac{3}{2}$（1-q）、p（q-1）=1，
又∵a₁=3，
∴q=3，p=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3ⁿ；
（Ⅱ）∵数列{b_n}是公差为3的等差数列、b₁=1，
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2，
记d_n=${a}_{{b}_{n}}$，则d_n=3^3n-2=3•27^n-1，
即数列{d_n}是首项为3、公比为27的等比数列，
∴T_n=S_n-D（$\frac{n}{3}$）=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{26}$-$\frac{3}{26}$•27^m=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{18}{13}$-$\frac{3}{26}$•27^m，
其中（$\frac{n}{3}$）表示$\frac{n}{3}$的整数部分且记为m，D（n）表示数列{d_n}的前n项和．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．