Question

12．袋子中装有大小相同的3个白球和4个红球，现从袋子中每次取出1个球，每个球被取到的机会均等，如果取出的白球与红球相等或所有的球都取完，则停止．设停止时已取出的红球个数为X．
（1）若从袋子中任取2个球，求恰好取到1个红球和1个白球的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）从袋子中任取2个球，先求出基本事件总数，再求出恰好取到1个红球和1个白球包含的基本事件个数，由此能求出恰好取到1个红球和1个白球的概率．
（2）由已知得X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）∵袋子中装有大小相同的3个白球和4个红球，
∴从袋子中任取2个球，基本事件总数n=${C}_{7}^{2}$=21，
恰好取到1个红球和1个白球包含的基本事件个数m=${C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}$=12，
∴恰好取到1个红球和1个白球的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{12}{21}$=$\frac{4}{7}$．
（2）由已知得X的可能取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{3}{7}×\frac{4}{6}+\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$=$\frac{24}{42}$=$\frac{4}{7}$，
设取出4个球时，白球和红球各点两个的概率为p₄，则p₄=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=2）是在p₄成立的前提下前两个球都是红球或都是白球的概率，
∴P（X=2）=p₄×（1-$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$）=$\frac{4}{35}$，
设取出6个球时，白球和红球各3个的概率为p₆，则p₆=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{6}}$=$\frac{4}{7}$，
P（X=3）是在p₆成立的前提下，前两个球同色，且前四个球中白球和红球数量不同的概率，
∴P（X=3）=p₆×（1-$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$）（1-$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{4}}$）=$\frac{4}{7}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{16}{175}$．
∴P（X=4）=1-P（X=1）=P（X+=2）-P（X=3）=$\frac{39}{175}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{4}{7}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{16}{175}$	$\frac{39}{175}$

∴EX=$1×\frac{4}{7}+2×\frac{4}{35}+3×\frac{6}{175}+4×\frac{39}{175}$=$\frac{239}{175}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．