Question

19．已知函数f（x）=（x-1）³+2014（x-1），等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且f（a₂）+f（a₂₀₁₄）=0，则S₂₀₁₅=（　　）

• A． 4030
• B． 4028
• C． 2015
• D． 2014

Answer 1

分析 f（a₂）+f（a₂₀₁₄）=0，可得$（{a}_{2}-1）^{3}+2014（{a}_{2}-1）$+$（{a}_{2014}-1）^{3}$+2014（a₂₀₁₄-1）=0，化为a₂+a₂₀₁₄=2．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵f（a₂）+f（a₂₀₁₄）=0，
∴$（{a}_{2}-1）^{3}+2014（{a}_{2}-1）$+$（{a}_{2014}-1）^{3}$+2014（a₂₀₁₄-1）=0，
设a₂-1=a，a₂₀₁₄-1=b，
∴a³+2014a+b³+2014b=0，
化为（a+b）（a²+b²-ab+2014）=0，
∵a²+b²-ab+2014＞0，
∴a+b=0，
即a₂+a₂₀₁₄=2．
∴S₂₀₁₅=$\frac{2015（{a}_{1}+{a}_{2015}）}{2}$=$\frac{2015（{a}_{2}+{a}_{2014}）}{2}$=2015，
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式及其性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．