Question

9．已知扇形的圆心角为θ，半径为r．
（1）若θ=120°，r=3cm，求该扇形的弧长和面积．
（2）若该扇形的周长为40，当θ，r分别为何值时，该扇形面帜最大，最大值是多少？

Answer 1

分析 当扇形的半径和弧长分别为r和l，弧长l=θr，扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{2}$θr²=$\frac{1}{4}$•l•2r，
（1）将θ=120°，r=3cm，代入公式，可得答案．
（2）由2r+l=40，结合基本不等式可得结论．

解答 解：（1）∵θ=120°=$\frac{2π}{3}$，r=3cm，
∴该扇形的弧长l=θr=2πcm，
面积S=$\frac{1}{2}{θr}^{2}$=3πcm²，
（2）由题意可得2r+l=40，
∴扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{4}$•l•2r≤$\frac{1}{4}$（$\frac{l+2r}{2}$）²=100，
当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，
此时圆心角为θ=$\frac{l}{r}$=2，
∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．

点评 本题考查基本不等式，涉及扇形的面积公式，属基础题