Question

7．设函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若g（x）=f（x）-m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式可得：函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再利用三角函数的周期性与单调性即可得出；
（2）分别画出y=f（x）和y=m的图象，由图象可知，1≤m＜2．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∴f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z，
（2）g（x）=f（x）-m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的零点，
∴f（x）-m=0，
即f（x）=m，
分别画出y=f（x）和y=m的图象，如图所示：
由图象可知，当1≤m＜2时，y=f（x）和y=m有两个交点，
∴g（x）=f（x）-m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的零点，m的范围为[1，2）．

点评 本题考查了倍角公式、三角函数的周期性与单调性，函数的零点的判定方法，体现了数形结合及转化的数学思想，画出图形是解题的关键，属于中档题