Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）如果函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（2）求证对任意的n∈N^*，不等式ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

都成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由于函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值?f′（x）=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有两个不等实根?g（x）=2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根?△＞0且g（-1）＞0，解出即可．
（2）对于函数f（x）=x²-ln（x+1），构造函数h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，
∴f′（x）=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x²+2x+b，
则△=4-8b＞0且g（-1）＞0，0＜b＜

1

2

．
（2）对于函数f（x）=x²-ln（x+1），
令函数h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）
则h′（x）=3x²-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

，
当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0，
∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0，
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取x=

1

n

∈（0，+∞），则有ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了构造函数利用导数得出函数的单调性证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．