Question

已知函数f（x）=

3

sin2x•cos2x+cos²2x-

1

2

．
（I）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若

π

12

＜α＜

π

3

且f（α）=

3

5

，求cos4α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先把三角关系式通过恒等变换转化成正弦型函数，进一步求出最小正周期．
（2）由（1）的结论进一步对所求的结果4α变换成（4α-

π

6

）+

π

6

根据相关结果求值．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

sin2x•cos2x+cos²2x-

1

2

=

3

2

sin4x+

cos4x+1

2

-

1

2

=sin(4x+

π

6

)
所以函数的最小正周期为：T=

2π

4

=

π

2

（2）由（1）得：f(α)=sin(4α+

π

6

)=

3

5

由于

π

12

＜α＜

π

3

π

2

＜4α+

π

6

＜

3π

2

cos(4α+

π

6

)=-

4

5

所以cos4α=cos[（4α+

π

6

）-

π

6

]=cos（4α+

π

6

）cos

π

6

+sin（4α+

π

6

）sin

π

6

=

3-4 3

10

故答案为：（1）T=

π

2

（2）cos4α=

3-4 3

10

点评：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，同角三角函数的恒等式sin²x+cos²x=1，及相关的运算问题．