Question

设f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos²

x

2

；
（1）求f（x）在x∈[0，π]上的值域；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（1）把函数解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的值域即可得到f（x）的值域；
（2）把x=B代入第一问化简后的解析式中，令其值等于1，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，由b，c及cosB的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答： 解：（1）f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos²

x

2

=

1

2

cosx-

3

2

sinx+1=cos（x+

π

3

）+1，
∵x∈[0，π]，
∴x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴cos（x+

π

3

）∈[-1，

1

2

]，
∴f（x）在x∈[0，π]上的值域为[0，

3

2

]；
（2）由f（B）=1 得cos（B+

π

3

）+1=1，即cos（B+

π

3

）=0，即B=

π

6

由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB
即1=a²+3-3a，整理a²-3a+2=0
解得a=1或a=2．

点评：考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属中档题，用来训练答题者熟练三角恒等变形公式与余弦定理．