Question

已知函数f（x）=lg

1+x

1+ax

（a≠1）是奇函数，
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（x）+

2

1+2x

，x∈（-1，1），求g（

1

2

）+g（-

1

2

）的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先根据奇函数的定义得到a的值，再结合定义域关于原点对称即可确定实常数a的值．

解答： 解：（1）因为函数f（x）=lg

1+x

1+ax

是奇函数；
所以：f（-x）+f（x）=0⇒lg

1+x

1+ax

+lg

1-x

1-ax

=0⇒lg

1-x2

1-a2x2

=0⇒

1-x2

1-a2x2

=1．
∴a=±1，又a≠1，
∴a=-1．
（2）∵g（x）=f（x）+

2

1+2x

，且f（x）为奇函数，
∴g（

1

2

）+g（-

1

2

）=f（

1

2

）+f（-

1

2

）+

2

1+2 1 2

+

2

1+2- 1 2

=2（

2

-1）+

2 2

2 +1

=2．

点评：本题主要考查函数奇偶性的性质．一个函数存在奇偶性的前提是定义域关于原点对称．