Question

已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（X-3）²+（y-1）²=3相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求圆M关于直线AF对称的圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）圆M的圆心为（3，1），半径r=

3

，由题意知直线AF的方程为

x

c

+y=1，由直线AF与圆M相切，得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由（1）知AF的方程为x+

3

y-

2

=0，设点M（3，1）关于直线AF的对称点为M′（x₀，y₀），则MM′的中点为（

x0+3

2

，

y0+1

2

），kMM′=

y0-1

x0-3

，由此能求出圆的方程．

解答： 解：（1）圆M的圆心为（3，1），半径r=

3

，
由题意知A（0，1），F（c，0），c=

a2-1

，
∴直线AF的方程为

x

c

+y=1，
即x+cy-c=0，
由直线AF与圆M相切，得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，
解得c²=2，a²=3，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）由（1）知AF的方程为x+

3

y-

2

=0，
设点M（3，1）关于直线AF的对称点为M′（x₀，y₀），
则MM′的中点为（

x0+3

2

，

y0+1

2

），kMM′=

y0-1

x0-3

，
∵两圆关于直线AF对称，
∴

x0+3 2 + 2 2 (y0+1)- 2 =0 y0-1 x0-3 = 2

，
解得x0=1，y0=1-2

2

，
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+2

2

-1)2=3．

点评：本题考查椭圆方程和圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆和圆的性质的合理运用．