Question

15．已知f（x）=2sin（ωx+φ），函数图象上的一个最高点为（2，2），由此最高点到相邻的最低的曲线与x轴交于点（6，0）．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数取得最小值时x的值及函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）图象最高点为（2，2），可得A=2；由此最高点到相邻最低点的图象与x轴的交点为（6，0）可得函数的周期T，利用周期公式T=$\frac{2π}{ω}$可求ω，然后把（2，2）代入可得φ，即可得解解析式．
（2）由$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得函数取得最小值时x的值；由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得单调递增区间；由2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得单调递减区间．

解答 解：（1）由题意可得A=2，$\frac{T}{4}$=6-2=4，
∴T=16，由周期公式 T=$\frac{2π}{ω}$=16，可得ω=$\frac{π}{8}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
由函数图象过（2，2）代入可得2sin（$\frac{π}{8}$×2+φ）=2，解得：φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
∵k=0时，可得：φ=$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）由$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得：当x=16k+10，k∈Z时，函数取得最小值-2．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得单调递增区间为：[16k-6，16+2]，k∈Z．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得单调递减区间为：[16k+2，16k+10]，k∈Z．

点评 本题主要考查了利用正弦函数的性质求解函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，其步骤：由函数的最值求解A；由函数的周期求解ω；再把函数所过的一点（一般用最值点）代入可求φ，从而可求函数的解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．