Question

4．关于α的方程$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-α）=2m-3有解，则m的取值范围$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$≤m≤$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函数公式和整体思想化简可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{7π}{12}$），由三角函数的值域可得m的不等式，解不等式可得．

解答 解：由三角函数公式化简可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-α）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{4}$+α）]
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$cos（$\frac{π}{4}$+α）
=$\sqrt{2}$[$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{π}{4}$+α）]
=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{7π}{12}$）
由三角函数的知识可知$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{7π}{12}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴-$\sqrt{2}$≤2m-3≤$\sqrt{2}$，解得$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$≤m≤$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$
故答案为：$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$≤m≤$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及整体的思想，属基础题．