Question

5．已知过点M（2，1），且分别与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使△ABO的面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 设出直线l的方程，由题意和基本不等式求出△ABO面积的最小值以及对应的直线方程．

解答 解：根据题意，设点A（a，0），B（0，b），且a、b均为正数，
∴直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1；
又直线过点M（2，1），∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
∴1=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}{b}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ab}}$，
∴$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{2}$，
两边平方得ab≥8，
∴△ABO的面积为S=$\frac{1}{2}$ab≥4，
当且仅当$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$，
即a=4且b=2时取等号；
∴△ABO面积的最小值为4，
此时对应直线l的方程为$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1．

点评 本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，也考查了直线方程的应用问题，是基础题目．