Question

14．已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前5项和S₅=20，且a₁，a₃，a₇成等比数列，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为（　　）

• A． $\frac{n}{2（n+2）}$
• B． $\frac{n}{2（n+1）}$
• C． $\frac{2n}{n+2}$
• D． $\frac{n}{n+1}$

Answer 1

分析 根据等差数列和等比数列的性质S₅=5a₃，a₃²=a₁•a₇，根据等差数列通项公式（a₃-2d）（a₃+4d）=16，求的d和a₁，即可求得a_n，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
运用裂项相消求和，求得T_n．

解答 解：由等差数列通项公式S₅=5a₃，
∴5a₃=20，即a₃=4，
a₁，a₃，a₇成等比数列，a₃²=a₁•a₇，
∴a₁•a₇=16，
即（a₃-2d）（a₃+4d）=16，即解得：（4-2d）（4+4d）=16，
整理得：d²-d=0，解得d=1或d=0（舍去），
由：a₃=a₁+（3-1）d，解得：a₁=2，
∴a_n=2+n-1=n+1，
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和Sn=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，
=$\frac{n}{2（n+2）}$，
故答案选：A．

点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法，利用“裂项法”求前n项和，属于中档题．