已知曲线C:xy=1.过C上一点An(xn.yn)作一斜率为kn=-$\frac{1}{{x} {n}+2}$的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1.yn+1).点列{An}的横坐标构成数列{xn}.其中x1=$\frac{11}{7}$(Ⅰ)求xn与xn+1的关系式,(Ⅱ)令bn=$\frac{1}{{x} {n}-2}$+$\frac{1}{3}$.求证:数列{bn}是等比数列.并写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=-$\frac{1}{{x}_{n}+2}$的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列{A_n}的横坐标构成数列{x_n}，其中x₁=$\frac{11}{7}$
（Ⅰ）求x_n与x_n+1的关系式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$，求证：数列{b_n}是等比数列，并写出通项公式；
（Ⅲ）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零正数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

分析（Ⅰ）求得过直线A_n（x_n，y_n）的直线方程并与xy=1联立，消去y整理即可求得x_n与x_n+1的关系式；
（Ⅱ）将b_n=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$代入$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$，求得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=-2，然后再求出b₁，数列{b_n}是以-2为首项，-2为公比等比数列，并求得通项公式；
（Ⅲ）根据关系式c_n=3ⁿ-λb_n，得到数列{c_n}的通项公式．然后得到c_n+1-c_n，再分别根据n奇偶性进行讨论，综合可得λ的取值范围．

解答解：（Ⅰ）过A_n（x_n，y_n）的直线方程为y-y_n=-$\frac{1}{{x}_{n}+2}$（x-x_n），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{n}=-\frac{1}{{x}_{n}+2}（x-{x}_{n}）}\\{xy=1}\end{array}\right.$；
消y得：$\frac{1}{{x}_{n}+2}{x}^{2}-（{y}_{n}+\frac{{x}_{n}}{{x}_{n}+1}）+1=0$，
所以：x_nx_n+1=x_n+2，即x_n+1=$\frac{{x}_{n}+2}{{x}_{n}}$；
（Ⅱ）证明：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{n+1}-2}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{{x}_{n}-2}+\frac{1}{3}}$=$\frac{\frac{{x}_{n}}{2-{x}_{n}}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{{x}_{n}-2}+\frac{1}{3}}$=$\frac{\frac{3{x}_{n}+2-{x}_{n}}{3（2-{x}_{n}）}}{\frac{3+{x}_{n}-2}{3（{x}_{n}-2）}}$=-2，
∴{b_n}是等比数列，首项b₁=$\frac{1}{{x}_{1}-2}+\frac{1}{3}$=-2，
∴数列{b_n}是以-2为首项，-2为公比等比数列，
∴数列{b_n}通项公式b_n=（-2）ⁿ；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：b_n=（-2）ⁿ，要使c_n+1-c_n成恒成立，
则c_n+1-c_n=[3ⁿ⁺¹-λ（-2）ⁿ⁺¹]-[3ⁿ-λb_n]恒成立．
①当n为奇数时，即λ＜（$\frac{3}{2}$）^n-1恒成立．
因为n=1时（$\frac{3}{2}$）^n-1取最小值1，
∴λ＜1．
②当n为偶数时，λ＞-（$\frac{3}{2}$）^n-1恒成立．
因为当n=2时-（$\frac{3}{2}$）^n-1取最大值-$\frac{3}{2}$，
∴λ＞-$\frac{3}{2}$，
综上，得：-$\frac{3}{2}$＜λ＜1，
∴λ=-1，
所以λ=-1时，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立