Question

3．已知函数f（x）=（x-$\frac{1}{x}$）•cosx，x∈[-π，π]且x≠0，则下列描述正确的是（　　）

• A． 函数f（x）为偶函数
• B． 函数f（x）在（0，π）上有最大值无最小值
• C． 函数f（x）有2个不同的零点
• D． 函数f（x）在（-π，0）上单调递减

Answer 1

分析 A．根据函数奇偶性的定义进行判断，
B．将函数分解为g（x）=x-$\frac{1}{x}$，h（x）=cosx，讨论g（x）和h（x）的单调性和符号，进行判断，
C．根据函数零点的定义解方程f（x）=0进行判断，
D．将函数分解为g（x）=x-$\frac{1}{x}$，h（x）=cosx，讨论g（x）和h（x）的单调性即可．

解答 解：A．函数的定义域关于原点对称，则f（-x）=（-x+$\frac{1}{x}$）•cosx=-（x-$\frac{1}{x}$）•cosx=-f（x），即函数f（x）为奇函数．故A错误，
B．当x∈（0，π）时，设g（x）=x-$\frac{1}{x}$，h（x）=cosx，
当x∈（0，1]时，g（x）＜0，且为增函数，h（x）为减函数，且h（x）＞0，此时f（x）为增函数，
当x∈（1，$\frac{π}{2}$）时，g（x）＞0，且为增函数，h（x）为减函数，且h（x）＞0，此时f（x）≥0，
当x∈[$\frac{π}{2}$，π）时，g（x）＞0，且为增函数，h（x）为减函数，且h（x）＜0，此时f（x）＜0，则函数f（x）为减函数无最小值，
则函数存在极大值，同时也是最大值，故B正确，
C．由f（x）=（x-$\frac{1}{x}$）•cosx=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$cosx=0得cosx=0或x²-1=0，即x=±1或x=$\frac{π}{2}$或x=-$\frac{π}{2}$，即函数f（x）有4个不同的零点，故C错误，
D．当x∈（-π，0）时，设g（x）=x-$\frac{1}{x}$，h（x）=cosx，
当x∈（-π，-$\frac{π}{2}$）时，g（x）和h（x）都是增函数且h（x）＜0，g（x）＜0，此时f（x）为减函数，
当x∈（1，π）时，g（x）和h（x）都是增函数且h（x）＞0，g（x）＞0，此时f（x）为增函数，故函数f（x）在（-π，0）上不单调，故D错误，
故选：B．

点评 本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，涉及函数奇偶性，单调性以及函数与方程的应用，综合性较强，难度较大．