Question

6．函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a、b、c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3
（1）求a、b、c的值；
（2）当x＜0时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数的奇偶性求得a、b、c的值．
（2）当x＜0时，根据函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$ 的图象，利用导数求得它的单调区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a、b、c∈Z）是奇函数，
∴f（-x）=$\frac{{ax}^{2}+1}{-bx+c}$=-f（x）=-$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$，∴c=0．
又∵f（1）=2，∴$\frac{a+1}{b+c}$=$\frac{a+1}{b}$=2，∴a+1=2b．
根据f（2）=$\frac{4a+1}{2b}$＜3，∴a=b=1．
综上可得，a=b=1，c=0．
（2）当x＜0时，函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，求得x=-1，
在（-∞，-1）上，f′（x）＞0，函数f（x）单掉递增，在（-1，0）上，f′（x）＜0，函数f（x）单掉递减，
故单调增区间为（-∞，-1），单调减区间为（-1，0）．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．