Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n-a_n，则数列{a_n}的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由数列递推式S_n=2n-a_n得到S_n-1=2（n-1）-a_n-1，两式作差后构造型的等比数列∴{a_n-2}，由等比数列的通项公式求得答案．

解答： 解：由S_n=2n-a_n  ①
得S_n-1=2（n-1）-a_n-1 （n≥2）②
①-②得：2a_n=a_n-1+2，
∴an-2=

1

2

(an-1-2) （n≥2），
又S₁=a₁=2×1-a₁，得a₁=1．
∴{a_n-2}构成以-1为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
∴an-2=-1×(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n-1，
an=2-(

1

2

)n-1．
当n=1时上式成立．
∴an=2-(

1

2

)n-1．
故答案为：2-(

1

2

)n-1．

点评：本题考查数列的递推式，考查了a_n=pa_n-1+q型递推式的通项公式的求法，关键是构造出新的等比数列，是中档题．