Question

已知

1

3

≤k＜1，函数f（x）=|2^x-1|-k的零点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），函数g（x）=|2^x-1|-

k

2k+1

的零点分别为x₃，x₄（x₃＜x₄），则（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值为（　　）

• A、1
• B、log₂3
• C、log₂6
• D、3

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：先表示出2x1和2x2，2x3和2x4，再表示出2x2-x1，2x4-x3，从而表示出2(x4-x3)+(x2-x1)，求出其范围，从而求出（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的范围，进而求出（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值．

解答： 解：∵x₁＜x₂，
∴2x1=1-k，2x2=1+k，
又∵x₃＜x₄，
∴2x3=1-

k

2k+1

，2x4=1+

k

2k+1

，
∴2x2-x1=

1+k

1-k

，2x4-x3=

3k+1

k+1

；
∴2(x4-x3)+(x2-x1)=

3k+1

1-k

=-3+

4

1-k

；
又k∈[

1

3

，1)，
∴-3+

4

1-k

∈[3，+∞)；
∴x₄-x₃+x₂-x₁∈[log₂3，+∞），
故选：B．

点评：本题考察了函数的零点，方程的根的关系，求函数的值域问题以及指数函数的运算，是一道综合题．