Question

函数f（x）=1+cos（2ωx）+

3

sin（2ωx）（0＜ω＜1），若直线x=

π

3

是函数f（x）图象的一条对称轴；
（1）试求ω的值；
（2）先列表再作出函数f（x）在区间[-π，π]上的图象；并写出在[-π，π]上的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：作图题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得解析式f（x）=1+2sin（2ωx+

π

6

），由题意可得sin（

2ωx

3

+

π

6

）=±1，可解得K，ω的值．
（2）由（1）知，f（x）=1+2sin（x+

π

6

）．用五点作图法即可做出图象，求出[-π，π]上的单调递减区间．

解答： 解：（1）f（x）=1+2sin（2ωx+

π

6

），
∵直线x=

π

3

是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴sin（

2ωx

3

+

π

6

）=±1
∴

2ωx

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，（k∈Z）
∴ω=

3

2

k+

1

2

，∵0＜ω＜1
∴-

1

3

＜k＜

1

3

，又k∈Z
∴K=0，ω=

1

2

．
（2）由（1）知，f（x）=1+2sin（x+

π

6

）．
列表：

x+ π 6	- 5π 6	- π 2	0	π 2	π	7π 6
x	-π	- 2π 3	- π 6	π 3	5π 6	π
y	0	-1	1	3	1	0

描点作图如下：

在[-π，π]上的单调递减区间是[-π，-

2π

3

]，[

π

3

，π]．

点评：本题主要考察了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的图象与性质，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．