Question

已知函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期为π，其图象上一个最高点为M（

π

6

，2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求其单调减区间；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

4

]时，求f（x）的最值及相应的x的取值，并求出函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；再根据正弦函数的单调性求得f（x）的减区间．
（Ⅱ）当x∈[0，

π

4

]时，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．

解答： （Ⅰ）解：由题意可得A=2，T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x+φ）．
由题意当x=

π

6

时，2×

π

6

+φ=

π

2

，求得 φ=

π

6

，故f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）当x∈[0，

π

4

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，故当2x+

π

6

=

π

6

时，函数f（x）取得最小值为1，当2x+

π

6

=

π

2

时，函数f（x）取得最大值为2．
故f（x）值域为[1，2]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．