Question

4．已知x，y∈R，（　　）

• A． 若|x-y²|+|x²+y|≤1，则${（x+\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$
• B． 若|x-y²|+|x²-y|≤1，则${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$
• C． 若|x+y²|+|x²-y|≤1，则${（x+\frac{1}{2}）^2}+{（y+\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$
• D． 若|x+y²|+|x²+y|≤1，则${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y+\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用绝对值不等式的性质，得出（x²-y）+（y²-x）≤|x²-y|+|y²-x|=|x-y²|+|x²-y|≤1，即得${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$，判断B正确．

解答 解：对于A，|x-y²|+|x²+y|≤1，
由${（x+\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$化简得x²+x+y²-y≤1，二者没有对应关系；
对于B，由（x²-y）+（y²-x）≤|x²-y|+|y²-x|=|x-y²|+|x²-y|≤1，
∴x²-x+y²-y≤1，即${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$，命题成立；
对于C，|x+y²|+|x²-y|≤1，
由${（x+\frac{1}{2}）^2}+{（y+\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$化简得x²+x+y²+y≤1，二者没有对应关系；
对于D，|x+y²|+|x²+y|≤1，
化简${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y+\frac{1}{2}）^2}≤\frac{3}{2}$得x²-x+y²+y≤1，二者没有对应关系．
故选：B．

点评 本题考查了绝对值不等式的应用问题，是基础题．