Question

12．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点R的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）求点R的直角坐标，化曲线C的参数方程为普通方程；
（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）由极坐标转化为直角坐标，消去参数可得普通方程即可；
（2）由参数方程，设出P的坐标，得到矩形的周长，根据三角函数的图象和性质即可求出最值．

解答 解：（1）点R的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直角坐标为（2，2）；
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），普通方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（2）设P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），则Q（2，sinθ），|PQ|=2-$\sqrt{3}$cosθ，|QR|=2-sinθ，
∴矩形周长=2（2-$\sqrt{3}$cosθ+2-sinθ）=8-4sin（θ+$\frac{π}{3}$），
∴当θ=$\frac{π}{6}$时，周长的最小值为4，此时，点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．