Question

7．在等差数列{a_n}中，a₁=-2，a₁₂=20．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）若${b_n}=\frac{{{a_1}+{a_2}+…{a_n}}}{n}$，求数列$\left\{{{3^{b_n}}}\right\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的通项公式即可求出公差d，写出通项公式即可，
（Ⅱ）先根据等差数列的求和公式化简b_n，再判断数列$\left\{{{3^{b_n}}}\right\}$为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）因为 a_n=-2+（n-1）d，
所以 a₁₂=-2+11d=20．
于是 d=2，
所以 a_n=2n-4．
（Ⅱ）因为a_n=2n-4，
所以 ${a_1}+{a_2}+…+{a_n}=\frac{n（2n-6）}{2}=n（n-3）$．
于是 ${b_n}=\frac{{{a_1}+{a_2}+…{a_n}}}{n}=n-3$，
令 ${c_n}={3^{b_n}}$，则 ${c_n}={3^{n-3}}$．
显然数列{c_n}是等比数列，且${c_1}={3^{-2}}$，公比q=3，
所以数列$\left\{{{3^{b_n}}}\right\}$的前n项和${S_n}=\frac{{{c_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{{3^n}-1}}{18}$．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的定义和求和公式，考查了学生的运算能力，属于基础题