Question

16．设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}x+2$，数列{a_n}的通项公式为a_n=n-1007，则$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）}$=（　　）

• A． 2017
• B． 2018
• C． 8068
• D． 4034

Answer 1

分析 由题意对已知函数求两次导数可得f′′（x）=2x-4，由题意可得函数的图象关于点（2，2）对称，即f（x）+f（4-x）=2，由数列{a_n}的通项公式分析可得{a_n}为等差数列，且a₁+a₂₀₁₇=a₂+a₂₀₁₆=…=2a₁₀₀₉=4，而$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）}$=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₆）+f（a₂₀₁₇），结合f（x）+f（4-x）=2，计算可得答案．

解答 解：根据题意，三次函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}x+2$，
则f′（x）=x²-4x+$\frac{8}{3}$，
则f′′（x）=2x-4，
若f′′（x）=2x-4=0，则有x=2，
又由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}x+2$，则f（2）=2，
即（2，2）是三次函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}x+2$的对称中心，
则有f（x）+f（4-x）=4，
数列{a_n}的通项公式为a_n=n-1007，为等差数列，
则有a₁+a₂₀₁₇=a₂+a₂₀₁₆=…=2a₁₀₀₉=4
则$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）}$=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₆）+f（a₂₀₁₇）
=f（a₁）+f（a₂₀₁₇）+f（a₂）+f（a₂₀₁₆）+…+f（a₁₀₀₈）+f（a₁₀₁₀）+f（a₁₀₀₉）
=4×1008+2=4034；
故选：D．

点评 本题考查函数的值，涉及导数的计算，关键是求出函数f（x）的对称中心．