题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求证：AB⊥PE．
考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC
（2）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；
（2）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；
解答：
证明：（1）∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE∥BC．
∵DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．…（4分）
（2）连接PD，
∵PA=PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB． …．（5分）
∵DE∥BC，BC⊥AB，
∴DE⊥AB…（6分）
又∵PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE
∴AB⊥平面PDE…（8分）
∵PE?平面PDE，
∴AB⊥PE…（9分）
∴DE∥BC．
∵DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．…（4分）
（2）连接PD，
∵PA=PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB． …．（5分）
∵DE∥BC，BC⊥AB，
∴DE⊥AB…（6分）
又∵PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE
∴AB⊥平面PDE…（8分）
∵PE?平面PDE，
∴AB⊥PE…（9分）
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答的关键．
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