Question

10．已知P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1右支上的一点，F₁，F₂是该双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若S${\;}_{△IP{F}_{1}}$=S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+λS${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$成立，则λ的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• B． $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可知：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{7}$，由${S}_{△IP{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，${S}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，${S}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，由${S}_{△IP{F}_{1}}$=S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+λS${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，整理得：|PF₁|-|PF₂|=λ|F₁F₂|，根据双曲线的定义可知：λ=$\frac{a}{c}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

解答 解：依题意，$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
设△PF₁F₂的内切圆的半径为r，
则${S}_{△IP{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，${S}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，${S}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，
∵${S}_{△IP{F}_{1}}$=S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+λS${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴${S}_{△IP{F}_{1}}$-S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=λS${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
$\frac{1}{2}$|PF₁|•r-$\frac{1}{2}$|PF₂|•r=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，
∴|PF₁|-|PF₂|=λ|F₁F₂|，
∴2a=2λc，
∴λ=$\frac{a}{c}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
λ的值$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率和定义的运用，同时考查三角形的面积公式的运用，运算求解能力，属于中档题．