题目内容
1．计算：$\underset{lim}{x→∞}（\frac{x}{1+x}）^{x}$=$\frac{1}{e}$．分析 令t=$\frac{1}{x}$，则当x→+∞时，t→0，把要求的函数极限经过转化结合公式$\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{1}{n}）^{n}=e$得答案．
解答 解：令t=$\frac{1}{x}$，则当x→+∞时，t→0，
$\underset{lim}{x→∞}（\frac{x}{1+x}）^{x}=\underset{lim}{t→0}（\frac{\frac{1}{t}}{1+\frac{1}{t}}）^{\frac{1}{t}}$=$\underset{lim}{t→0}（\frac{1}{1+t}）^{\frac{1}{t}}$
=$\underset{lim}{t→0}（1+t）^{-\frac{1}{t}}$=$\underset{lim}{x→∞}[（1+\frac{1}{x}）^{x}]^{-1}=\frac{1}{e}$．
故答案为：$\frac{1}{e}$．
点评 本题考查函数的极限，考查数学转化思想方法，是基础题．
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| A． | $\frac{\sqrt{7}}{4}$ | B． | $\frac{2\sqrt{7}}{7}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．