Question

19．已知函数f（x）=|x²-1|+x²-kx．
（1）若k=2时，求出函数f（x）的单调区间及最小值；
（2）若f（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若k=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-2x-1，x＜-1或x＞1}\\{1-2x，-1≤x≤1}\end{array}\right.$，利用二次函数的性质可求出函数f（x）的单调区间及最小值；
（2）若f（x）≥0恒成立，分-1≤x≤1、x＞1与x＜1三类讨论，分别构造函数，利用函数的单调性求得k的取值范围，最后取交集即可求得实数k的取值范围．

解答 解：（1）k=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-2x-1，x＜-1或x＞1}\\{1-2x，-1≤x≤1}\end{array}\right.$，
当x＜-1或x＞1时，y=2x²-2x-1=2（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，f（x）在（-∞，-1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
当-1≤x≤1时，f（x）=1-2x单调递减；
综上，f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
所以f（x）_min=f（1）=-1．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-kx-1，x＜-1或x＞1}\\{1-kx，-1≤x≤1}\end{array}\right.$，
当-1≤x≤1时，1-kx≥0恒成立，令g（x）=1-kx，则$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≥0}\end{array}\right.$，
解得：-1≤k≤1；
当x＞1时，k≤2x-$\frac{1}{x}$恒成立，y=2x-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）单调递增，解得k≤1；
当x＜1时，k≥2x-$\frac{1}{x}$恒成立，同理解得k≥-1．
综上，-1≤k≤1．

点评 本题考查函数恒成立问题，突出分类讨论与构造函数思想，分离参数求其最值是解决问题的关键，属于难题．