Question

19．（1）偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，求满足f（2x-1）＞f（3）的x的取值范围
（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=log₂（x+1）．解关于x的不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的性质，可知f（x）=f（|x|），将不等式f（2x-1）＞f（3）转化为：f（|2x-1|）＞f（3），再运用f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，去掉“f”，列出关于x的不等式，求解即可得到x的取值范围．
（2）由题意可得 f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（-1）=1，由不等式f（x）＞1，可得x的范围．

解答 解：∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（|x|），
∴f（2x-1）=f（|2x-1|），
则不等式f（2x-1）＞f（3）转化为：f（|2x-1|）＞f（3），
∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为单调递减，
∴|2x-1|＜3，解得-1＜x＜2，
则不等式的解集是：（-1，2）；
（2）∵f（x）是定义在R上的偶函数，在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=1，
∴f（x）在在（-∞，0）上单调递减，且f（-1）=1，
∵关于x的不等式f（x）＞1，∴x＜-1，或x＞1，
故原不等式的解集为{x|x＞1，或x＜-1}．

点评 本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是将不等式进行合理的转化，然后利用单调性去掉“f”．属于中档题．