Question

（1）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-

3

)，(0，

3

)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．求出C的方程及其离心率e的大小；
（2）已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．求椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据已知条件及椭圆的定义即知，点P的轨迹为以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以得到对半轴长为1，所以C的方程为x2+

y2

4

=1，并且可求得离心率e=

3

2

；
（2）可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，并且可得b=1，右焦点为（c，0），而根据点到直线的距离公式即可求出c=

2

，所以得到a²=3，所以所求椭圆方程便是

x2

3

+y2=1．

解答： 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，长半轴长为2的椭圆；
它的短半轴长b=

22-( 3 )2

=1；
故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1；
a=2，c=

3

，所以离心率e=

c

a

=

3

2

；
（2）设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)；
依题意有，b=1；
右焦点（c，0）到直线x-y+2

2

=0的距离为3；
∴

|c-0+2 2 |

12+12

=3，解得c=

2

或c=-4

2

（舍去）；
∴a²=b²+c²=1+2=3；
∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1．

点评：考查椭圆的定义，以及椭圆的标准方程，椭圆的离心率的定义，以及椭圆的顶点，点到直线的距离公式及a²=b²+c²．