Question

16．将函数f（x）=2cos（x+$\frac{π}{6}$）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的两倍，再把得到的曲线图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，最后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当x∈[0，π]时，求函数g（x）的最大值与最小值；
（3）求不等式-1≤g（x）≤$\sqrt{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=f（$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$））=2cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）．
（2）由x∈[0，π]，可求$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，由余弦函数的图象可得cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，从而得解．
（3）由-1≤g（x）≤$\sqrt{2}$，可求$-\frac{1}{2}≤$cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，由余弦函数的图象和性质可得不等式解集．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）g（x）=f（$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$））=2cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）…4分
（2）∵x∈[0，π]，∴$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴y∈[-$\sqrt{3}$，1]，函数g（x）的最大值为1，最小值为-$\sqrt{3}$…8分
（3）∵-1≤g（x）≤$\sqrt{2}$，
∴$-\frac{1}{2}≤$cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$-\frac{2π}{3}+2kπ≤$$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤$-\frac{π}{4}$+2kπ，或$\frac{π}{4}+2kπ≤$$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}+2kπ$，k∈Z，
∴4kπ-2π≤x≤4k$π-\frac{7π}{6}$或4kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤4k$π+\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴x∈[4kπ-2π，4k$π-\frac{7π}{6}$]∪[4kπ-$\frac{π}{6}$，4k$π+\frac{2π}{3}$]，k∈Z…12分

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，余弦函数的图象和性质，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了计算能力和数形结合的能力，属于中档题．