Question

8．设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足|x-3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出p，q为真时的x的范围，去交集即可；（2）根据q是p的充分不必要条件结合集合的包含关系，求出a的范围即可．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a．------（2分）
当a=1时，1＜x＜3，------（3分）
又|x-3|＜1得2＜x＜4------（4分）
由p∧q为真．∴x满足$\left\{{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x＜4}\end{array}}\right.$即2＜x＜3．
则实数x的取值范围是2＜x＜3．------（5分）
（2）q是p的充分不必要条件，
记A={x|a＜x＜3a，a＞0}，B={x|2＜x＜4}，
则B是A的真子集，------（7分）
∴a≤2且4≤3a．------（9分）
则实数a的取值范围是$\frac{4}{3}≤a≤2$．------（10分）

点评 本题考察了复合命题的判断，考察充分必要条件以及集合的包含关系，是一道基础题．