Question

4．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N₊）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）直接利用类加法求数列的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，然后利用错位相减法求和．

解答 解：（1）由a_n+1-a_n=2ⁿ，得
a_n=[（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）]+a₁
=$（{2}^{n-1}+{2}^{n-2}+…+{2}^{1}）+2=\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}+2={2}^{n}$，
又a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）由b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
知${S}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
两式作差得：$\frac{1}{2}{S}_{n}=\frac{1}{2}+（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）-\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$．
∴${S}_{n}=2-\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了类加法求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．