Question

9．在△ABC中，若$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=3$，$|\overrightarrow{BC}|=4$，O为△ABC的内心，且$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{BC}$，则λ+μ=（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{5}{9}$
• C． $\frac{7}{9}$
• D． $\frac{5}{7}$

Answer 1

分析 O为△ABC内角平分线的交点，令|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，则有a$\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，利用向量的多边形法则可得$\overrightarrow{AO}$=$\frac{b+c}{a+b+c}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{c}{a+b+c}$$\overrightarrow{BC}$，化简整理即可得出结论．

解答 解：∵O为△ABC的内心，
∴O为△ABC内角平分线的交点，
令|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，则有a$\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴a$\overrightarrow{OA}$+b（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$）+c（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{0}$，
∴（a+b+c）$\overrightarrow{AO}$=（b+c）$\overrightarrow{AB}$+c$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{b+c}{a+b+c}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{c}{a+b+c}$$\overrightarrow{BC}$，
∴λ+μ=$\frac{b+c}{a+b+c}$+$\frac{c}{a+b+c}$=$\frac{3+2+2}{2+3+4}$=$\frac{7}{9}$．
故选C．

点评 本题考查了三角形内角平分线的性质、向量的多边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．