Question

14．已知函数$f（x）=2{sin^2}（x+\frac{3π}{2}）+\sqrt{3}$sin（π-2x）
（1）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$，求f（x）的取值范围；
（2）求函数$y={log_{\frac{1}{2}}}$f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）化函数f（x）为正弦型函数，求出$x∈[0，\frac{π}{2}]$时f（x）的取值范围即可；
（2）根据复合函数的单调性列出不等式组，求出x的取值范围即可．

解答 解：（1）函数$f（x）=2{sin^2}（x+\frac{3π}{2}）+\sqrt{3}$sin（π-2x）
=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
故$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
$0≤2sin（2x+\frac{π}{6}）+1≤3$，
所以f（x）的取值范围是[0，3]；
（2）由题意有$\left\{\begin{array}{l}{2sin（2x+\frac{π}{6}）+1＞0}\\{\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{6}+2kπ＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}+2kπ，k∈Z}\\{\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z}\end{array}\right.$，
即$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z，
所以$\frac{π}{6}$+kπ≤x＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；
所以函数$y={log_{\frac{1}{2}}}f（x）$的单调增区间为[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{2}$+kπ），k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的化简与三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．