Question

20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点$（{1\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F₂PF₁=60°，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意求得a，设出椭圆方程，代入已知的坐标求得b，则椭圆方程可求；
（2）由（1）求得c及2a，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得$|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{4}{3}$，然后代入三角形面积公式可得△PF₁F₂的面积．

解答 解：（1）∵椭圆C的焦点在x轴上，且长轴为4，
故可设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
又点$（{1\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在椭圆C上，∴$\frac{1}{4}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，
解得b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由（1）知，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{3}$，|PF₁|+|PF₂|=4．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：
$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|cos∠{F}_{1}P{F}_{2}$，
即4c²=4a²-3|PF₁||PF₂|，
∴$|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{4}{3}$．
则S=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin60°$=$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形中椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．